Questão 146 do ENEM 2023 (Matemática)

Question

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.

Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

A) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
B) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Accepted Answer

Alternativa E: Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Colocando os vértices em progressão aritmética de razão 2 (por exemplo 1,3,5 ou 2,4,6) e distribuindo os números restantes nos lados, é possível obter duas configurações válidas em que a soma dos três números de cada lado é sempre a mesma: uma delas resulta em soma 9 e outra em soma 12, dependendo da progressão escolhida. As demais opções descrevem apenas uma solução ou valores de soma incorretos. O conceito é resolução de quebra-cabeça numérico com restrição de progressão aritmética. Consulte a figura da questão.

Questão 146 do ENEM 2023

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