Questão 164 do ENEM 2024 (Matemática)

Question

A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P₁, P₂ e P₃, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.

A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre

A) 2 e 3.
B) 4 e 5.
C) 5 e 6.
D) 7 e 8.
E) 8 e 9.

Accepted Answer

Alternativa C: 5 e 6.

Como os três postos de saúde formam um triângulo equilátero de lado 10 km e o hospital é equidistante dos três, o hospital está localizado no circuncentro desse triângulo; a distância do circuncentro a cada vértice de um triângulo equilátero de lado L é R = L/√3, que para L = 10 km resulta em aproximadamente 5,77 km, valor que está entre 5 e 6, a alternativa correta. Um erro comum é usar a fórmula da altura do triângulo equilátero (que dá cerca de 8,66 km) no lugar do raio da circunferência circunscrita, que é dois terços dessa altura. O conceito envolvido é geometria do triângulo equilátero e circunferência circunscrita.

Questão 164 do ENEM 2024

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