Questão 167 do ENEM 2016 (Matemática)

Question

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 − x², sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é
igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

A) 18
B) 20
C) 36
D) 45
E) 54

Accepted Answer

Alternativa C: 36

A parábola y = 9 − x² intercepta o eixo horizontal (chão) em x = −3 e x = 3, então a base do arco (a entrada do túnel) mede 6 metros, e a altura máxima da parábola (o vértice, em x = 0) é y = 9 metros. Como a área sob a parábola equivale a 2/3 da área do retângulo que tem base 6 e altura 9 (ou seja, 2/3 de 54 = 36), a área correta da tampa de concreto é a da alternativa oficial. Um erro comum é usar apenas metade da base (3, em vez de 6, a distância entre as duas raízes) para montar o retângulo de referência, o que reduziria pela metade o resultado final. O conceito é geometria analítica (parábola) e cálculo de área por proporção com o retângulo circunscrito.

Questão 167 do ENEM 2016

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