Questão 168 do ENEM 2016 (Matemática)

Question

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

A) 10². 26²
B) 10². 52²
C) 10². 52². 4!/2!
D) 10². 26². 4! 2! . 2!
E) 10². 52². 4!

Accepted Answer

Alternativa E: 10². 52². 4!

A senha tem 4 caracteres, sendo 2 algarismos (10 opções cada, com repetição permitida, totalizando 10² combinações) e 2 letras entre maiúsculas e minúsculas (52 opções cada, já que são 26 letras vezes 2 possibilidades de caixa, totalizando 52² combinações); depois de calcular esses valores, é preciso multiplicar pelo número de formas de organizar essas 4 posições (2 algarismos e 2 letras) dentro da senha, que é dado por uma permutação com repetição (4! dividido pela repetição de posições iguais entre si, já que a ordem interna dos dois algarismos entre si e das duas letras entre si já foi contada dentro de 10² e 52²). Combinando corretamente esses fatores (10², 52² e a permutação das posições, dividida pelas repetições internas) chega-se à expressão da alternativa correta. O erro comum é usar apenas 26² em vez de 52² para as letras (esquecendo maiúsculas e minúsculas) ou esquecer de multiplicar pela permutação de posições dos caracteres na senha. O conceito é análise combinatória (princípio multiplicativo e permutação com repetição).

Questão 168 do ENEM 2016

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