Questão 146 do ENEM 2014 (Matemática)

Question

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x ⋅ 5^y ⋅ 7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A) x ⋅ y ⋅ z
B) (x + 1) ⋅ (y + 1)
C) x ⋅ y ⋅ z − 1
D) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ z
E) (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ (z + 1) − 1

Accepted Answer

Alternativa E: (x + 1) ⋅ (y + 1) ⋅ (z + 1) − 1

Se N é múltiplo de 10 (múltiplo de 2 e de 5), então x ≥ 1 e y ≥ 1; e se N não é múltiplo de 7, então z = 0. O número total de divisores de N = 2^x·5^y·7^z é dado pela fórmula (x+1)(y+1)(z+1); como se pede o número de divisores diferentes do próprio N, basta subtrair 1 desse total, resultando em (x+1)(y+1)(z+1) − 1, que é a resposta correta, válida independentemente do valor de z (que aqui é zero).

Questão 146 do ENEM 2014

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