Questão 167 do ENEM 2017 (Matemática)

Question

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Região onde serão afixados os doces O
r A parte hachurada será apoiada A B na mesa h Calota a ser cortada e eliminada

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a

A) 5 − √91/2
B) 10 − √91
C) 1
D) 4
E) 5

Accepted Answer

Alternativa C: 1

O melão esférico tem diâmetro 10 cm, logo raio R = 5 cm. O chefe quer que o raio da seção circular de corte seja o menor possível (mas pelo menos 3 cm, para estabilidade) e ao mesmo tempo maximizar a área da região onde os doces serão afixados (a calota maior, oposta à parte cortada). Como a área da região de doces cresce quanto menor for a calota removida, e a restrição mínima do raio de corte é 3 cm, deve-se usar exatamente essa restrição no limite: pela relação geométrica entre raio da esfera, raio da seção de corte e altura da calota (r² = R² − (R−h)²), com r = 3 e R = 5, obtém-se h = 1 cm, que é a alternativa oficial.

Questão 167 do ENEM 2017

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